[2015년 주엽고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{3} +3x ^{2} -2x+1]의 도함수가 [eqn: f` prime (x)=ax ^{2} +bx+c]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 11]

함수 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} +2x-5]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{2} -1}}]의 값은? [4.7점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: int _{} ^{} {f(x)} =x ^{2} +3x+C](단, [eqn: C]는 적분상수)을 만족할 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} -9x]의 극댓값을 [eqn: M], 극솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? [4.8점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 32]

지상 [eqn: 30rmm]지점에서 [eqn: 25 rm m/s]의 속도로 야구공을 똑바로 위로 던지면 [eqn: t]초 후의 높이 [eqn: x rmm]가 [eqn: x=30+25t-5t ^{2}]이라고 할 때, 공이 지면에 떨어지는 순간의 속도는? [4.8점]

①

① [eqn: -35 rm m/s]	② [eqn: -30 rm m/s]	③ [eqn: -25 rm m/s]

④ [eqn: -20 rm m/s]	⑤ [eqn: -15 rm m/s]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,```f(x))]에서의 접선의 기울기가
[eqn: -2x+4]이고 이 곡선이 점 [eqn: (2,```1)]을 지날 때, [eqn: f(1)]의 값은?
[4.8점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT | 2x-4 RIGHT | `dx}]의 값은? [4.9점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: f(x)=2x ^{3} +x ^{2} -3x+1]일 때, [eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x} {f(t)dt}}]의 값은?
[4.9점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.3점]

①

ㄱ. [eqn: lim _{h-> 0} {{f(a+h)-f(a)} over {h} =0}]이면

[eqn: lim _{x-> a} {{f(x)-f(a)} over {x-a} =0}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{h-> 0} {{f(a+h)-f(a)} over {h} =0}]이면

[eqn: lim _{x-> a} {f(x)} =0]이다.

ㄷ. [eqn: lim _{h-> 0} {{f(a+h)-f(a-h)} over {2h} =0}]이면

[eqn: lim _{h-> 0} {{f(a+h)-f(a)} over {h}} =0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy]
를 만족시키고 [eqn: f`'(0)=-5]일 때, [eqn: f`'(-2)]의 값은? [5.1점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림은 모든 실수에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 그래프를 나타낸 것이다.

다음의 값을 작은 수부터 차례로 나열한 것은? [5.0점]

②

[eqn: f`'(0)], [eqn: f`'(1)], [eqn: { f(3)-f(1)} over { 3-1}], [eqn: { f(3)-f(-2)} over { 3-(-2)}]

① [eqn: f`'(0)], [eqn: f`'(1)], [eqn: {f(3)-f(1)} over {3-1}], [eqn: {f(3)-f(-2)} over {3-(-2)}]

② [eqn: f`'(0)], [eqn: f`'(1)], [eqn: {f(3)-f(-2)} over {3-(-2)}], [eqn: {f(3)-f(1)} over {3-1}]

③ [eqn: f`'(0)], [eqn: {f(3)-f(-2)} over {3-(-2)}], [eqn: {f(3)-f(1)} over {3-1}], [eqn: f`'(1)]

④ [eqn: f`'(1)], [eqn: {f(3)-f(1)} over {3-1}], [eqn: {f(3)-f(-2)} over {3-(-2)}], [eqn: f`'(0)]

⑤ [eqn: f`'(1)], [eqn: {f(3)-f(-2)} over {3-(-2)}], [eqn: {f(3)-f(1)} over {3-1}], [eqn: f`'(0)]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3]에 접하고 기울기가 [eqn: 3]인 두 접선을 각각 [eqn: l], [eqn: m]이라 할 때, 두 직선 [eqn: l과```m] 사이의 거리는? [5.2점]

②

① [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {2} over {5} sqrt {10}]	③ [eqn: {3} over {5} sqrt {10}]

④ [eqn: {4} over {5} sqrt {10}]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

열린 구간 [eqn: (-1,```1)]에서 증가하는 함수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{2} +2x+3]

ㄴ. [eqn: f(x)=2x ^{3} -9x ^{2} +12x+1]

ㄷ. [eqn: f(x)=-3x ^{4} +4x ^{3}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y=x ^{4} -2x ^{2} +2x] 위의 한 점에서의 접선이 곡선 위의 다른 점에서 곡선과 다시 접할 때, 이 접선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라 하자. 이 때, [eqn: ab]의 값은? [5.3점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=12x-x ^{2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 내접하는 사다리꼴 넓이의 최댓값은? [5.2점]

⑤

① [eqn: 32]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 128]	⑤ [eqn: 256]

연속함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f`'(x)= LEFT | `x-2` RIGHT |], [eqn: f(0)=0]
을 만족시킬 때, [eqn: f(4)]의 값은? [5.0점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

집합 [eqn: F= LEFT { f(x)`|`f(x)=x ^{n} LEFT | `x` RIGHT | ,```n은```-2 LEQ n LEQ 2인```정수 right]의 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가
[eqn: A= LEFT { f(x)`|`f(x)는```x=0에서```연속right],
[eqn: B= LEFT { f(x)`|`f(x)는```x=0에서```미분가능right]
으로 정의되어 있다. [eqn: n(A SMALLINTER B)]의 값은? [5.1점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음은 구분구적법을 이용하여 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 부피 [eqn: V]를 구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n,```k)], [eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: f(5)+g(5,```3)+h(3)]의 값은? [5.4점]

위의 그림과 같이 반지름의 길이 [eqn: r]을 [eqn: n]등분하여
[eqn: (n-1)]개의 원기둥을 만든다. 이때 각 원기둥의
높이는 [eqn: LEFT ( ` BOX{`````(가)`````} ` RIGHT )]이고 위에서부터 [eqn: k]번째 원기둥의
밑면의 반지름의 길이는 [eqn: LEFT ( ` BOX{`````(나)`````} ` RIGHT )]이므로 부피의
합 [eqn: V _{n}]은

[eqn: V _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} pi cdotLEFT ( ` BOX{````(나)````} ` RIGHT ) ^{2} cdot LEFT ( ` BOX{````(가)````} ` RIGHT )]

[eqn: = {pi r ^{3}} over {n ^{3}} CDOT BOX{````(다)````}]

따라서 구의 부피 [eqn: V]는 [eqn: V=2 lim _{n-> INF } {V _{n} = {4} over {3} pi r ^{3}}]

③

① [eqn: 11+r]	② [eqn: 12+r]	③ [eqn: 13+r]

④ [eqn: 14+r]	⑤ [eqn: 15+r]

이차함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} -4x+a]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f left(p+ {k} over {n} right)=0}]을 만족시키는 실수 [eqn: p]가 존재할 때, 상수 [eqn: a]의 최댓값은? [5.2점]

④

① [eqn: {7} over {12}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {11} over {12}]

④ [eqn: {13} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {f(t)dt}]일 때, [eqn: x GEQ 0]인 구간에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

보기에서 옳은 것만을 고른 것은? [5.0점]

②

ㄱ. [eqn: F(b)=0]

ㄴ. [eqn: F(d)-F(b)<0]

ㄷ. [eqn: F(c)=0]일 때, [eqn: F(x)는````x=d]에서 최솟값을

갖는다.

ㄹ. [eqn: F(x)는````x=a]에서 극댓값을 갖는다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

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